从阶乘的定义开始，我们可以在数学上证明：0！=1。在排列组合领域，通常给出的解释通常是，只有一种方法可以排列0个物体，或者数学家们发现了0!= 1而不是0!= 0更方便，更有用。

让我们先来看看什么是阶乘的定义。

一个非负整数n的阶乘，用n! 表示，是所有小于或等于n的正整数的积。

• n!=(n)(n-1)(n-2)(n-3)…(3)(2)(1)

这就得到了一个递归关系。

• n!=n (n-1)!

排列‍

排列是一个集合中元素的唯一和特定的顺序。例如，包含三个元素的集合{a, b, c}有六种排列方式：

• {a, b, c}, {a, c, b}, {b, c, a}, {b, a, c}, {c, b, a} 和 {c, a, b}。

从上面我们可以看出，3！=6。事实上，一个有四个元素的集合有4！=24个排列方式，一个有五个元素{a，b，c，d，e}的集合有5！=120个排列方式。因此，思考阶乘的另一种方式是设n是一个自然数，n！就是一个有n个元素的集合的排列数量。

以类似的方式，一个有两个元素的集合{a，b}，有2！=2个排列组合，即{a，b}和{b，a}。有一个元素{a}的集合，有1！=1种排列组合，因为它只能以一种方式排序。

一个不包含任何元素的集合被称为空集。对于一个零元素的集合，可以有多少种排序方式？

我们已经知道，1！=1，2！=2，3！=6，4！=24，5！=120，……。现在让我们从后向前看，如何从5！=120中得到4！=24，以此类推。可以清楚地看到：

• 5!/5=24
• 4!/4=6
• 3!/3=2!
• 2!/2=1!

因此，0！=1!/1。从理论上讲，当n为有理数时，应该能够算出n阶乘的值。例如，什（3/2）！是多少？

伽马函数‍（gamma函数，γ函数）

定义。设z是一个复数。伽马函数Γ(z)在ℜ(z)>0（半个复平面）中的定义为

这个积分在ℜ(z)>0时收敛。伽马函数的一个基本属性由以下命题给出：

上述命题的证明非常简单，可以用分部积分法完成。

在1处对伽马函数进行求值，我们发现：

并使用上述命题，我们得到：

由此可见，对于所有正整数n：

伽马函数‍推广阶乘乘积的能力在数学的许多领域都有应用，例如，在组合学、概率论和幂级数的计算。