求最值带根号的类型题

带一个根号，中间为加号的题型。例如：y=√(x^2+36)+x，y=x+√(x^2－8x+17)。带一个根号，中间为减号的题型。例如：y=√(x^2+36)－x，y=√(x^2+1)－x.带一个根号，中间为乘法的题型。例如：y=x·√(1－x^2)。带两个根号，中间是加法的题型。例如：y=√(x^2+4)+√(x^2－8x+17)

图一

这些都是常见的带根号求最值的问题，这些题在高考中一般都是融合在大 题中出现的。

例如，在解决函数问题以及不等式恒成立问题的时候，遇到了上述的函数，就需要知道该函数的极值来画出图形，所以一般这些都是融合在以后的做题之中的。

那这样的题该怎么计算最值或者极值呢？

这样的题一般都有固定的方式方法，下面就这五种类型题，说一说它们的解题方法。

类型一

类型一是带一个根号，中间是加号的题型。

像这样的题，首先是确定该函数的定义域和单调性。

例如，y=√(x^2+36)+x的定义域是R，是单调递增的。

其次，确定√(x^2+36)和x的大小。

因为当x趋近负无穷的时候，就相当这两个数的绝对值在做减，如果√(x^2+36)>x，则无论x如何变化，该y=√(x^2+36)+x函数值都是大于0得，所以该函数的图像都是在x轴的上方。

最后，就是求出该函数的极限。

当x趋近负无穷的时候，√(x^2+36)趋近正无穷，所以√(x^2+36)+x就相当于正无穷+负无穷，即函数y=√(x^2+36)+x趋近于0正。

当x趋近正无穷的时候，√(x^2+36)趋近正无穷，所以√(x^2+36)+x就相当于正无穷+正无穷，即函数y=√(x^2+36)+x趋近与正无穷。

综上所述，函数y=√(x^2+36)+x的范围是(0,+∞)，没有最大值和最小值。

类型二

类型二，是带一个根号，中间为减号的题型。

这样的题一般都是要分子有理化的形式去解决。

例如，y=√(x^2+36)－x=[√(x^2+36)－x]·[√(x^2+36)+x]/[√(x^2+36)+x]=36/[√(x^2+36)+x]。

然后再将函数y=√(x^2+36)+x如类型一的形式去得出函数的极值，最终得到函数y=36/[√(x^2+36)+x]的极值。

即：函数y=36/[√(x^2+36)+x] 的定于为R，因为函数y=√(x^2+36)+x是增函数，所以函数y=36/[√(x^2+36)+x]就是减函数。

当x趋近正无穷的时候，则y=√(x^2+36)+x趋近正无穷，则y=36/[√(x^2+36)+x]趋近于0.

当x趋近负无穷的时候，则y=√(x^2+36)+x趋近于0正，则y=36/[√(x^2+36)+x]趋近正无穷。

所以函数y=36/[√(x^2+36)+x]的范围也是(0,+∞)，没有最大值和最小值。

类型三

类型三是带一个根号，中间是乘法的题型。

像这样的题，先判断定义域，然后再根据基本不等式求出最值。

例如，y=x·√(1－x^2)，该定义域是0≤x^2≤1.

对于基本不等式要求一般都是正数，所以此时可以使用基本不等式，即y=x·√(1－x^2)=√x^2·√(1－x^2)≤(x^2+1－x^2)/2=1/2.

所以该函数y=x·√(1－x^2)的最大值是1/2，当且仅当√x^2=√(1－x^2)相等时等号成立，即x=√2/2.

那最小值又是多少呢？

这里需要将x取负数并且x·√(1－x^2)的绝对值最大即可，x·√(1－x^2)绝对值最大时，就是该函数y=x·√(1－x^2)的最大值，即1/2.

所以函数y=x·√(1－x^2)的最小值就是－1/2，当且仅当x=－√2/2时等号成立。

综上所述该函数最大值值为1/2，最小值为－1/2.

类型四

类型四是带两个根号，中间是加法的题型。

像这样的题，主要就是数形结合，将这两个根号看成是距离公式的形式，即一个动点到两个定点的距离最小。

例如，y=√(x^2+4)+√(x^2－8x+17)=√[(x－0）^2+（2－0)^2]+√[(x－4)^2+(2－1)^2]。

则该函数就可以看成是点(x,2)到定点(0,0)和定点(4,1)的距离。

要想该动点(x,2)到这两个定点的距离最小，则要根据三点在一条直线上线段最小的原则来计算。

图二

如图二所示，要想动点P（x,2）到定点O（0,0）和B（4,1）的距离最小，则作B点关于y=2的对称点C点(4,3)，连接AC交直线y=2于D点，则当P点在D点时，该动点P到点A和点B的距离最小，即OC=√[(4－0)^2+(3－0)^2]=5。

所以函数y=√(x^2+4)+√(x^2－8x+17)的最小值为5。

当x趋近正无穷或者负无穷的时候，函数y=√(x^2+4)+√(x^2－8x+17)都趋近正无穷，所以该函数的取值范围为[5,+∞)，即该函数有最小值，无最大值。