在中学时候，我们学习过幂函数和指数函数，比如y=x2，y=2x，都是大家比较熟悉的。

幂函数和指数函数

可是，你知道 y=xx 图像长什么样吗？

这并不是一个简单的问题，我们需要使用复数对“乘方”的概念进行拓展。这可能会有点难，但是如果你能花点时间看完这篇文章，并且稍作思考，那你一定能被数学之美所折服。

01

实数乘方的含义

我们先来讨论一下：在实数范围内，乘方的含义：

在底数c大于0的时候，乘方一定有意义，例如：

按照这样的方法，计算y=xx在x>0的范围内是很容易的，利用软件可以画出：

如果底数c小于0，有时cx依然有意义，例如：

但也有时候，cx在实数范围内无意义，例如：

因为负数在实数范围内不能开平方，所以这个乘方就没有意义。中学时候老师教给我们一个判断方法：负数不能开偶次方根。

可是，利用这个规则我们依然不能判断所有的情况，比如

π是一个无理数，根本不能写成两个整数的比，所以也不知道它到底是在开奇数次方根，还是在开偶次方根，我们甚至不知道它在实数范围内有没有意义。

使用中学阶段的乘方知识，我们就只能理解到这里了，所以没办法画出y=xx在x<0时的图像。要继续深入下去，必须先来了解一下复数的各种形式。

02

复数的三角形式

我们知道：一个复数a+bi对应了复平面上的一个点：

复数和复平面

如果我们把这个点和原点连起来，形成一个向量，那么向量的长度ρ叫做复数的模，向量与实轴正半轴的夹角θ叫做辐角。这样，复数还可以写成这样的形式：

其中

这叫做复数的三角形式。

紧跟着，我们又要引用一个数学上的重要公式——欧拉公式，它告诉我们：对于自然对数的底e，虚数单位i和一个实数θ，有关系：

所以，刚才的复数又可以表示成

这就是复数的指数形式。

大家注意：θ角具有周期性，因为一个向量每转动360度，方向都是相同的。所以向量的辐角有无穷多个，彼此相差2π。比如

为了方便起见，有时候我们会省略2kπ，把1+i的辐角说成π/4，实际上这只是无穷多个辐角之一，称为主辐角。但在我们后面讨论的问题中，必须考虑所有的辐角，这是问题的关键。

利用指数形式，计算复数的乘方会非常容易，规则是：

举个例子：要计算1+i的三次方，我们可以使用下面的方法：

利用指数形式

在复平面上画出这个向量，注意：无论k取什么整数，向量的方向都是固定的，与实轴正方向夹角为135度。显然，这个结果等于-2+2i。

03

乘方概念的拓展

利用复数的指数形式，我们可以对乘方的概念进行拓展。注意：拓展之后的乘方概念，将会变成一个多值函数。即计算一个乘方，会有好几个甚至无穷多个答案。

这其实不难理解，比如“4的平方根”就是一个多值函数，结果是2和-2，其中2叫做算术平方根。

我们首先对正数的乘方进行拓展，即

虽然c是一个实数，但是我们依然可以把它看作是虚部为零的复数，那么它的模就等于c，而辐角就是0，2π，4π，…

然后，我们利用复数乘方法则，得到：

在k取不同值的时候，cx就会产生不同的结果，这些结果有些是实数，有些不是实数。

举个例子：计算2的1/3次方。

这个结果的模都是三次根号2，但是在k取不同整数时，辐角并不相同。

在复平面上画出这三个点，你会发现三个数中一个是实数，另外两个是非实数的复数，当k继续取4、5、6…等值的时候，结果会重复落在这三个点上。

2的1/3次方有三个取值

那么，c<0时情况又如何呢？我们来对负数的乘方进行拓展，即

负数c的模等于-c，而辐角就是π，3π，5π，…

我们利用复数乘方法则，得到：

同样，在k取不同值的时候，cx就会产生不同的结果，这些结果有些是实数，有些不是实数。

举个例子：计算-2的1/3次方。

结果的模是三次根号2，但是在k取不同整数时，辐角并不相同。

在复平面上画出这三个点，你会发现只有一个（k=1）是实数，另外两个是非实数的复数。

-2的1/3次方有三个取值

甚至有时候，复数的乘方结果都不是实数，例如按照刚才的方法计算(-2)1/4，你会发现它的结果是

画在复平面上，会发现一共有4各结果，而且全都不是实数。这就是为什么复数的偶次方根在实数范围内无意义。

-2的1/4有4个取值

那么，能不能总结一下，什么时候乘方在实数范围内有意义？什么时候没意义？

其实，进行了复数拓展后，正数和负数的区别只在于主辐角不同，正数的主辐角是0，而负数是π，这样按照复数的乘方规则，我们有：

其中

对于正数c而言，cx的辐角是2kπx，只要k=0，无论x取多少，辐角都一定是0，对应一个正实数。所以，正数的任何实数次方在实数范围内都有意义。

但对于负数c而言，cx的辐角是(2kπ+π)x，除非这个结果是π的整数倍，才能获得实数。因此，负数的乘方不能获得实数，除非满足(2k+1)x是整数。用数学表达式写成：

这时，我们就可以对x进行讨论了。

1. 如果x是一个无理数：无论k取哪个整数，(2k+1)x都不可能是有理数，自然也不会等于整数了，因此cx不是实数。

2. 如果x是一个有理数，那么可以把x写作：

于是有：

它是否能成为整数？我们又要分两种情况：

若q为偶数：因为2k+1是奇数，若q是偶数，那么2k+1和q不可能完全约分，因此(2k+1)x不可能是整数，cx不是实数。这就是以前说的：负数不能开偶次方根。

若q为奇数：因为2k+1是奇数，只要2k+1=q，3q，5q…等值，就能把q完全约分掉，所以(2k+1)x完全可以是整数，cx是实数。这就是为什么负数可以开奇次方根。

总结成一句话：在实数范围内，正数的任意次方都有意义，负数的乘方要有意义，除非指数是有理数，且写成最简分数时，分母是奇数。

04

函数图像

利用刚才讨论的结果，我们来一起研究一些有趣的函数图像吧。

首先，我们来讨论一个简的函数：y=(-1)x，按照刚才的讨论，我们有：

它的模是1，辐角会发生变化。而且，当k取0、1、2…时，辐角随x的变化速度不一样，你可以通过一张动图观察在k不同时，辐角随x的变化情况：

k取不同取值时，-1的x次方的辐角变化情况

我们还可以画得漂亮些：在三维空间中取三个坐标轴，描绘出cx的实部（向左的轴）、虚部（向上的轴）随着x（向右的轴）的变化情况，你会发现：当k取不同值时，cx的取值构成了一系列的螺旋：

k取不同取值时，-1的x次方构成了一系列螺旋

什么时候(-1)x能获得实数呢？只需要把这些螺旋和实平面相交，交点就是实数。实际上，这些点并不是连续的，根据我们刚才的讨论，此时的x必须是有理数，并且当x写成最简分数时，分母一定是奇数，例如x=1/3，2/5，3/7等。

-1的x次方的图像

讲了这么多，终于可以讲讲最初的问题了：y=xx函数图像到底长啥样？

根据之前的讨论，我们令ρ=|x|，则：

首先讨论结果的模，利用软件很容易算出函数值的模的变化规律，它在x=1/e和-1/e的位置，取到两个极值点：

|x|x的图像

然后我们研究函数的辐角：当k分别取0、1、2、3…时，函数值都螺旋线（除了x>0且k=0时，函数会是一条连续的平面曲线外），这无数条螺旋线组合在一起，图像有点像一个宝葫芦。

k取不同值时xx的函数图像

让这个宝葫芦和实平面相交，就会得到函数在实数范围内的图像：它在第一象限中是一条实线，在其他三个象限都是虚线。

y=xx在实数范围内的图像

我们来具体解释一下。我们已经知道：如果函数值是实数，那么它的辐角必须是π的整数倍，而且，如果辐角是π的偶数倍，函数值就是正实数；如果辐角是π的奇数倍，函数值就是负实数。

1. 在x>0时，xx的辐角是2kπx。

若k=0，无论x取何实，辐角都是0，此时xx是一个正的实数，对应第一象限里连续的线；

若k≠0，如果2kx是一个奇数，那么xx是一个负的实数，对应着第四象限的断续的线。

2. 在x<0时，xx的辐角是(2kπ+π)x。

若(2k+1)x是偶数，那么xx是一个正的实数，对应第二象限的断续线；

若(2k+1)x是奇数，那么xx是一个负的实数，对应第三象限的断续线。

这就是y=xx这个奇怪的函数图像了，

你感受到数学之美了吗？

y=xx在复数域内的图像